1 Propriedades algébricas de \(\mathbb{C}\) Prova
Mostre que soma e produto em \(\mathbb{C}\) são associativas e comutativas, e que o produto distribui sobre a soma.
O que a professora querUse a definição de \(\mathbb{C}\) como pares ordenados \((a,b)\), NÃO a notação \(a+bi\). Expanda cada operação e invoque as propriedades de \(\mathbb{R}\).
Definições
Sejam \(z_1=(a_1,b_1)\), \(z_2=(a_2,b_2)\), \(z_3=(a_3,b_3)\in\mathbb{C}\).Soma: \((a_1,b_1)+(a_2,b_2):=(a_1+a_2, b_1+b_2)\)
Produto: \((a_1,b_1)\cdot(a_2,b_2):=(a_1a_2-b_1b_2, a_1b_2+a_2b_1)\)
(i) Comutatividade da soma
\(z_1+z_2=(a_1+a_2, b_1+b_2)=(a_2+a_1, b_2+b_1)=z_2+z_1\)
Justificativa: comutatividade da soma em \(\mathbb{R}\). \(\blacksquare\)
Justificativa: comutatividade da soma em \(\mathbb{R}\). \(\blacksquare\)
(ii) Associatividade da soma
LE: \((z_1+z_2)+z_3=((a_1+a_2)+a_3,(b_1+b_2)+b_3)\)
LD: \(z_1+(z_2+z_3)=(a_1+(a_2+a_3),b_1+(b_2+b_3))\)
Pela associatividade em \(\mathbb{R}\): \((a_1+a_2)+a_3=a_1+(a_2+a_3)\) e idem para \(b\). Logo LE = LD. \(\blacksquare\)
LD: \(z_1+(z_2+z_3)=(a_1+(a_2+a_3),b_1+(b_2+b_3))\)
Pela associatividade em \(\mathbb{R}\): \((a_1+a_2)+a_3=a_1+(a_2+a_3)\) e idem para \(b\). Logo LE = LD. \(\blacksquare\)
(iii) Comutatividade do produto
\(z_1\cdot z_2=(a_1a_2-b_1b_2, a_1b_2+a_2b_1)\)
\(z_2\cdot z_1=(a_2a_1-b_2b_1, a_2b_1+a_1b_2)\)
Pela comutatividade do produto e soma em \(\mathbb{R}\), cada componente é igual. \(\blacksquare\)
\(z_2\cdot z_1=(a_2a_1-b_2b_1, a_2b_1+a_1b_2)\)
Pela comutatividade do produto e soma em \(\mathbb{R}\), cada componente é igual. \(\blacksquare\)
(iv) Associatividade do produto
Lado esquerdo: \((z_1z_2)z_3\)
Seja \(z_1z_2=(\alpha,\beta)\) com \(\alpha=a_1a_2-b_1b_2\), \(\beta=a_1b_2+a_2b_1\).1ª comp de \((z_1z_2)z_3\): \(\alpha a_3-\beta b_3=(a_1a_2-b_1b_2)a_3-(a_1b_2+a_2b_1)b_3\)
\(=a_1a_2a_3-b_1b_2a_3-a_1b_2b_3-a_2b_1b_3\)
2ª comp: \(\alpha b_3+\beta a_3=(a_1a_2-b_1b_2)b_3+(a_1b_2+a_2b_1)a_3\)
\(=a_1a_2b_3-b_1b_2b_3+a_1a_3b_2+a_2a_3b_1\)
Lado direito: \(z_1(z_2z_3)\)
Seja \(z_2z_3=(\gamma,\delta)\) com \(\gamma=a_2a_3-b_2b_3\), \(\delta=a_2b_3+a_3b_2\).1ª comp de \(z_1(z_2z_3)\): \(a_1\gamma-b_1\delta=a_1a_2a_3-a_1b_2b_3-a_2b_1b_3-b_1a_3b_2\)
2ª comp: \(a_1\delta+b_1\gamma=a_1a_2b_3+a_1a_3b_2+a_2a_3b_1-b_1b_2b_3\)
Pela comutatividade em \(\mathbb{R}\), ambos os lados coincidem termo a termo. \(\blacksquare\)
(v) Distributividade: \(z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3\)
LE: \(z_1(z_2+z_3)=(a_1,b_1)\cdot(a_2+a_3,b_2+b_3)\)
1ª: \(a_1(a_2+a_3)-b_1(b_2+b_3)=a_1a_2+a_1a_3-b_1b_2-b_1b_3\)
2ª: \(a_1(b_2+b_3)+(a_2+a_3)b_1=a_1b_2+a_1b_3+a_2b_1+a_3b_1\)
LD: \(z_1z_2+z_1z_3=(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+a_2b_1)+(a_1a_3-b_1b_3,a_1b_3+a_3b_1)\)
1ª: \(a_1a_2+a_1a_3-b_1b_2-b_1b_3\) ✓
2ª: \(a_1b_2+a_2b_1+a_1b_3+a_3b_1\) ✓
LE = LD. \(\blacksquare\)
1ª: \(a_1(a_2+a_3)-b_1(b_2+b_3)=a_1a_2+a_1a_3-b_1b_2-b_1b_3\)
2ª: \(a_1(b_2+b_3)+(a_2+a_3)b_1=a_1b_2+a_1b_3+a_2b_1+a_3b_1\)
LD: \(z_1z_2+z_1z_3=(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+a_2b_1)+(a_1a_3-b_1b_3,a_1b_3+a_3b_1)\)
1ª: \(a_1a_2+a_1a_3-b_1b_2-b_1b_3\) ✓
2ª: \(a_1b_2+a_2b_1+a_1b_3+a_3b_1\) ✓
LE = LD. \(\blacksquare\)
2 Significado de \(i^2=-1\) Conceito
Explique o significado preciso da escrita \(i^2=-1\) na construção de \(\mathbb{C}\).
Questão conceitual favorita de provaMostre que \(i=(0,1)\), calcule o produto, e explique a imersão \(\mathbb{R}\hookrightarrow\mathbb{C}\) via \(a\mapsto(a,0)\).
A imersão de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{C}\)
Cada \(a\in\mathbb{R}\) é identificado com \((a,0)\in\mathbb{C}\). Esta identificação preserva soma e produto. Em particular: \(-1\in\mathbb{R}\) corresponde a \((-1,0)\in\mathbb{C}\).Definição de \(i\) e cálculo
Definimos \(i:=(0,1)\). Então:\(i^2=(0,1)\cdot(0,1)=(0\cdot0-1\cdot1,\;0\cdot1+0\cdot1)=(-1,0)\)
✅ Significado preciso
"\(i^2=-1\)" significa que o par \((0,1)\), multiplicado por si mesmo pela regra de \(\mathbb{C}\), resulta em \((-1,0)\), que é o representante do real \(-1\) na imersão \(\mathbb{R}\hookrightarrow\mathbb{C}\).Por que isso importa?A construção evita circularidade. Não dizemos "existe um número cujo quadrado é negativo" — isso contradiz \(\mathbb{R}\). Em vez disso, construímos um objeto novo \((0,1)\) com uma multiplicação que produz \((-1,0)\).
3 Forma polar de \((1+i)^3\) e \((-1)^{1/5}\) Cálculo
Determine a forma polar de: a) \((1+i)^3\); b) \((-1)^{1/5}\).
a) \((1+i)^3\)
Módulo e argumento de \(1+i\)
\(|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\), \(\;\text{Arg}(1+i)=\arctan(1/1)=\pi/4\) (1º quadrante)Logo \(1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\)
De Moivre
\((1+i)^3=(\sqrt{2})^3\cdot e^{i\cdot3\pi/4}=2\sqrt{2}\,e^{i\cdot3\pi/4}\)
Detalhando: \((\sqrt{2})^3=2^{3/2}=2\sqrt{2}\) e argumento \(=3\times\pi/4=3\pi/4\).✅ Resultado
\((1+i)^3=2\sqrt{2}\,e^{i\cdot3\pi/4}\)
🔍 Verificação algébrica
\((1+i)^2=2i\), \((1+i)^3=(1+i)(2i)=2i+2i^2=-2+2i\).\(|-2+2i|=2\sqrt{2}\) ✓, \(\text{Arg}(-2+2i)=\pi-\pi/4=3\pi/4\) ✓
b) \((-1)^{1/5}\) — 5 raízes
Forma polar de \(-1\)
\(-1=1\cdot e^{i(\pi+2k\pi)}\), \(k\in\mathbb{Z}\)Fórmula das raízes n-ésimas
\(z_k=e^{i\pi(1+2k)/5},\quad k=0,1,2,3,4\)
\(z_0=e^{i\pi/5}\) (36°), \(z_1=e^{i3\pi/5}\) (108°), \(z_2=e^{i\pi}=-1\) (180°), \(z_3=e^{i7\pi/5}\) (252°), \(z_4=e^{i9\pi/5}\) (324°)✅ Resultado
5 raízes no círculo unitário, formando um pentágono regular, espaçadas de \(72°\).MaceteRaízes n-ésimas: módulo \(r^{1/n}\), igualmente espaçadas por \(2\pi/n\). Ache a primeira e some \(2\pi/n\) repetidamente.
4 Operações com \(z=2+3i\), \(w=4-3i\) Cálculo
Coloque na forma algébrica: a) \(z^2+\bar{z}w\); b) \(\text{Im}(w^2)+i\text{Re}(\bar{w}^2)\); c) \(\frac{5z}{w}\); d) \((-1+i)^7\).
a) \(z^2+\bar{z}w\)
\(z^2=(2+3i)^2=4+12i+9i^2=4+12i-9=-5+12i\)
\(\bar{z}=2-3i\)
\(\bar{z}w=(2-3i)(4-3i)=8-6i-12i+9i^2=8-18i-9=-1-18i\)
\(z^2+\bar{z}w=(-5+12i)+(-1-18i)\)
\(\bar{z}=2-3i\)
\(\bar{z}w=(2-3i)(4-3i)=8-6i-12i+9i^2=8-18i-9=-1-18i\)
\(z^2+\bar{z}w=(-5+12i)+(-1-18i)\)
✅ Resultado
\(z^2+\bar{z}w=-6-6i\)
b) \(\text{Im}(w^2)+i\text{Re}(\bar{w}^2)\)
\(w^2=(4-3i)^2=16-24i+9i^2=7-24i\) → \(\text{Im}(w^2)=-24\)
\(\bar{w}=4+3i\), \(\bar{w}^2=(4+3i)^2=16+24i+9i^2=7+24i\) → \(\text{Re}(\bar{w}^2)=7\)
\(\bar{w}=4+3i\), \(\bar{w}^2=(4+3i)^2=16+24i+9i^2=7+24i\) → \(\text{Re}(\bar{w}^2)=7\)
✅ Resultado
\(\text{Im}(w^2)+i\text{Re}(\bar{w}^2)=-24+7i\)
c) \(\frac{5z}{w}\)
Multiplicar pelo conjugado
\(\frac{10+15i}{4-3i}\cdot\frac{4+3i}{4+3i}\)Denominador: \((4)^2+(3)^2=25\)
Numerador: \((10+15i)(4+3i)=40+30i+60i+45i^2=-5+90i\)
✅ Resultado
\(\frac{5z}{w}=\frac{-5+90i}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{18}{5}i\)
🔍 Verificação
\(w\cdot(-1/5+18i/5)=(4-3i)(-1/5+18i/5)=-4/5+72i/5+3i/5-54i^2/5=-4/5+75i/5+54/5=50/5+15i=10+15i=5z\) ✓d) \((-1+i)^7\)
Converter para polar
\(|-1+i|=\sqrt{2}\), \(\text{Arg}(-1+i)=3\pi/4\) (2º quadrante)\(-1+i=\sqrt{2}\,e^{i3\pi/4}\)
De Moivre
\((-1+i)^7=(\sqrt{2})^7\cdot e^{i\cdot21\pi/4}=8\sqrt{2}\,e^{i\cdot21\pi/4}\)Reduzindo: \(21\pi/4-4\pi=5\pi/4\). Logo \(e^{i5\pi/4}=\cos(5\pi/4)+i\sin(5\pi/4)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(8\sqrt{2}\cdot(-\sqrt{2}/2)=-8\), \(8\sqrt{2}\cdot(-\sqrt{2}/2)i=-8i\)
✅ Resultado
\((-1+i)^7=-8-8i\)
5 Provar \(|z+w|^2=|z|^2+2\text{Re}(z\bar{w})+|w|^2\) Prova
Prove a identidade para quaisquer \(z,w\in\mathbb{C}\).
Cite estas propriedades: \(|z|^2=z\bar{z}\); \(\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}\); \(w\bar{z}=\overline{z\bar{w}}\); \(\alpha+\bar\alpha=2\text{Re}(\alpha)\).
Desenvolvimento
\(|z+w|^2=(z+w)\overline{(z+w)}=(z+w)(\bar{z}+\bar{w})\)
Expandindo: \(=z\bar{z}+z\bar{w}+w\bar{z}+w\bar{w}=|z|^2+z\bar{w}+\overline{z\bar{w}}+|w|^2\)Usamos \(w\bar{z}=\overline{z\bar{w}}\) (pois \(\overline{z\bar{w}}=\bar{z}\overline{\bar{w}}=\bar{z}w=w\bar{z}\)).
Como \(\alpha+\bar\alpha=2\text{Re}(\alpha)\) para qualquer \(\alpha\in\mathbb{C}\), com \(\alpha=z\bar{w}\):
✅ Conclusão
\(|z+w|^2=|z|^2+2\text{Re}(z\bar{w})+|w|^2\quad\blacksquare\)
AnalogiaVersão complexa de \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). O \(ab\) vira \(\text{Re}(z\bar{w})\). Útil para provar a desigualdade triangular — e é exatamente o que fazemos agora.
📐 Corolário imediato: Desigualdade Triangular
Como \(\text{Re}(\alpha)\leq|\text{Re}(\alpha)|\leq|\alpha|\) para qualquer \(\alpha\in\mathbb{C}\), em particular \(\text{Re}(z\bar{w})\leq|z\bar{w}|=|z||\bar{w}|=|z||w|\). Substituindo na identidade provada:\(|z+w|^2\leq|z|^2+2|z||w|+|w|^2=(|z|+|w|)^2\)
Tomando raiz quadrada (ambos os lados não-negativos):\(\boxed{|z+w|\leq|z|+|w|}\quad\blacksquare\)
Igualdade ocorre \(\Leftrightarrow\text{Re}(z\bar{w})=|z||w|\Leftrightarrow z\bar{w}\geq0\), ou seja, \(z\) e \(w\) têm o mesmo argumento (ou um deles é zero).6 Lugares geométricos em \(\mathbb{C}\) Conceito
Descreva geometricamente: (i) \(|z-1|=2|z+1|\); (ii) \(|1+z|\leq|1-z|\).
(i) \(|z-1|=2|z+1|\)
Substituir e elevar ao quadrado
\((x-1)^2+y^2=4[(x+1)^2+y^2]\)\(x^2-2x+1+y^2=4x^2+8x+4+4y^2\)
\(3x^2+10x+3+3y^2=0\)
\(x^2+\frac{10}{3}x+1+y^2=0\)
Completar quadrado
\(\left(x+\frac{5}{3}\right)^2-\frac{25}{9}+1+y^2=0\)\(\left(x+\frac{5}{3}\right)^2+y^2=\frac{16}{9}\)
✅ Resultado
Circunferência de centro \((-5/3, 0)\) e raio \(4/3\). (Circunferência de Apolônio.)(ii) \(|1+z|\leq|1-z|\)
\((1+x)^2+y^2\leq(1-x)^2+y^2\) → \(1+2x+x^2\leq1-2x+x^2\) → \(4x\leq0\) → \(x\leq0\)
✅ Resultado
Semiplano esquerdo fechado: \(\{\text{Re}(z)\leq0\}\). O eixo imaginário é a fronteira (equidistante de \(-1\) e \(1\)).7 Raízes conjugadas de polinômios reais Prova
Se \(p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n\) com \(a_i\in\mathbb{R}\) e \(p(z_0)=0\), mostre que \(p(\bar{z}_0)=0\).
Demonstração
\(p(z_0)=0\) → conjugando: \(\overline{p(z_0)}=0\)\(\overline{a_0+a_1z_0+\cdots+a_nz_0^n}=\bar{a}_0+\bar{a}_1\bar{z}_0+\cdots+\bar{a}_n\bar{z}_0^n\)
Como \(a_k\in\mathbb{R}\Rightarrow\bar{a}_k=a_k\). E \(\overline{z_0^k}=\bar{z}_0^k\) por indução usando \(\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}\): base \(k=1\) trivial; passo \(\overline{z_0^{k+1}}=\overline{z_0^k\cdot z_0}=\overline{z_0^k}\cdot\bar{z}_0=\bar{z}_0^k\cdot\bar{z}_0=\bar{z}_0^{k+1}\). Portanto:
\(a_0+a_1\bar{z}_0+a_2\bar{z}_0^2+\cdots+a_n\bar{z}_0^n=p(\bar{z}_0)=0\quad\blacksquare\)
Hipótese crucial: \(a_k\in\mathbb{R}\)Se coeficientes fossem complexos, \(\bar{a}_k\neq a_k\) e teríamos \(\overline{p}(\bar{z}_0)=0\), não \(p(\bar{z}_0)=0\).
8 Raízes cúbicas de \(-8\) Cálculo
Determine as raízes cúbicas de \(-8\). Qual a calculadora apresenta? E o C++?
Cálculo
\(-8=8e^{i(\pi+2k\pi)}\) → \(z_k=2e^{i\pi(1+2k)/3}\), \(k=0,1,2\)\(z_0=2e^{i\pi/3}=2(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=1+i\sqrt{3}\)
\(z_1=2e^{i\pi}=-2\)
\(z_2=2e^{i5\pi/3}=1-i\sqrt{3}\)
🔍 Verificação de \(z_0\)
\((1+i\sqrt{3})^2=-2+2i\sqrt{3}\); \((1+i\sqrt{3})^3=(-2+2i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3})=-2-2i\sqrt{3}+2i\sqrt{3}+2\cdot3\cdot i^2=-2-6=-8\) ✓✅ Resultado
\(z_0=1+i\sqrt{3},\; z_1=-2,\; z_2=1-i\sqrt{3}\)
Triângulo equilátero no círculo de raio 2. Calculadora: \(-2\) (raiz real). C++: \(1+i\sqrt{3}\) (menor argumento positivo).9 Contraexemplos para Arg Conceito
Exemplos onde: a) \(\text{Arg}(z^{-1})\neq-\text{Arg}(z)\); b) \(\text{Arg}(zw)\neq\text{Arg}(z)+\text{Arg}(w)\); c) \(\sqrt[3]{z^2}\neq(\sqrt[3]{z})^2\).
\(\text{Arg}\in(-\pi,\pi]\)As igualdades falham quando operações jogam o ângulo fora de \((-\pi,\pi]\).
a) \(z=-1\)
\(\text{Arg}(-1)=\pi\), \(z^{-1}=-1\) → \(\text{Arg}(z^{-1})=\pi\). Mas \(-\text{Arg}(z)=-\pi\neq\pi\). ✓
b) \(z=w=-1+i\)
\(\text{Arg}(-1+i)=3\pi/4\). \(zw=(-1+i)^2=-2i\) → \(\text{Arg}(-2i)=-\pi/2\).
Mas \(\text{Arg}(z)+\text{Arg}(w)=3\pi/2\neq-\pi/2\). (Diferem por \(2\pi\).) ✓
Mas \(\text{Arg}(z)+\text{Arg}(w)=3\pi/2\neq-\pi/2\). (Diferem por \(2\pi\).) ✓
c) \(z=e^{i2\pi/3}\)
\(z^2=e^{i4\pi/3}\), Arg \(=-2\pi/3\). \(\sqrt[3]{z^2}=e^{-i2\pi/9}\).
\(\sqrt[3]{z}=e^{i2\pi/9}\) → \((\sqrt[3]{z})^2=e^{i4\pi/9}\).
\(e^{-i2\pi/9}\neq e^{i4\pi/9}\). ✓
\(\sqrt[3]{z}=e^{i2\pi/9}\) → \((\sqrt[3]{z})^2=e^{i4\pi/9}\).
\(e^{-i2\pi/9}\neq e^{i4\pi/9}\). ✓
Relações corretas: como Arg se comporta de fato
As igualdades simples falham, mas valem módulo \(2\pi\):
\(\text{Arg}(zw)=\text{Arg}(z)+\text{Arg}(w)+2k\pi\) com \(k\in\{-1,0,1\}\) tal que o resultado \(\in(-\pi,\pi]\)
\(\text{Arg}(z^n)=n\cdot\text{Arg}(z)+2k\pi\), idem
\(\text{Arg}(z^{-1})=-\text{Arg}(z)+2k\pi\), idem
Quando valem exatamente? Quando o resultado da operação já cai em \((-\pi,\pi]\) sem precisar de correção — e.g., se \(\text{Arg}(z)+\text{Arg}(w)\in(-\pi,\pi]\), então \(k=0\) e a igualdade vale.
As igualdades simples falham, mas valem módulo \(2\pi\):
\(\text{Arg}(zw)=\text{Arg}(z)+\text{Arg}(w)+2k\pi\) com \(k\in\{-1,0,1\}\) tal que o resultado \(\in(-\pi,\pi]\)
\(\text{Arg}(z^n)=n\cdot\text{Arg}(z)+2k\pi\), idem
\(\text{Arg}(z^{-1})=-\text{Arg}(z)+2k\pi\), idem
Quando valem exatamente? Quando o resultado da operação já cai em \((-\pi,\pi]\) sem precisar de correção — e.g., se \(\text{Arg}(z)+\text{Arg}(w)\in(-\pi,\pi]\), então \(k=0\) e a igualdade vale.
10 Fórmula quadrática e \(z^2+4z+5=0\) Cálculo
Prove a fórmula quadrática para polinômios de grau 2 em \(\mathbb{C}\). Resolva \(z^2+4z+5=0\).
Prova por completamento de quadrado
\(az^2+bz+c=0\) → \(z^2+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a}=0\)\(\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)
Em \(\mathbb{C}\), todo número tem raiz quadrada. Logo:
\(z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad\blacksquare\)
Aplicação
\(a=1, b=4, c=5\). \(\Delta=16-20=-4\). \(\sqrt{-4}=2i\).\(z=\frac{-4\pm2i}{2}=-2\pm i\)
✅ Soluções
\(z_1=-2+i,\quad z_2=-2-i\)
Conjugados (coef. reais → Q7). Soma \(=-4=-b/a\) ✓, produto \(=5=c/a\) ✓ (Vieta).🔍 Verificação
\((-2+i)^2+4(-2+i)+5=(4-4i-1)+(-8+4i)+5=3-4i-8+4i+5=0\) ✓11 EDO 2ª ordem com \(\Delta<0\) Aplicação
Para \(y''+a_1y'+a_0y=0\) com discriminante negativo, obtenha a solução geral real.
Equação característica
Com \(y=e^{\lambda t}\): \(\lambda^2+a_1\lambda+a_0=0\). Com \(\Delta<0\):\(\lambda_{1,2}=\frac{-a_1\pm i\sqrt{4a_0-a_1^2}}{2}=\alpha\pm i\beta\)
onde \(\alpha=-a_1/2\), \(\beta=\sqrt{4a_0-a_1^2}/2\).Soluções complexas
\(y_1=e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}[\cos\beta t+i\sin\beta t]\)\(y_2=e^{(\alpha-i\beta)t}=e^{\alpha t}[\cos\beta t-i\sin\beta t]\)
Extrair soluções reais
\(\tilde{y}_1=\frac{y_1+y_2}{2}=e^{\alpha t}\cos\beta t\)\(\tilde{y}_2=\frac{y_1-y_2}{2i}=e^{\alpha t}\sin\beta t\)
Ambas reais e linearmente independentes.
✅ Solução geral
\(y(t)=e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t),\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}\)
InterpretaçãoOscilação amortecida: \(e^{\alpha t}\) = amortecimento, \(\cos/\sin\) = oscilação. Sistema massa-mola subcrítico!
🔍 Independência linear — Wronskiano
Para \(\tilde{y}_1=e^{\alpha t}\cos\beta t\) e \(\tilde{y}_2=e^{\alpha t}\sin\beta t\), calculemos o determinante wronskiano \(W[\tilde{y}_1,\tilde{y}_2](t)\):\(\tilde{y}_1'=e^{\alpha t}(\alpha\cos\beta t-\beta\sin\beta t)\), \(\quad\tilde{y}_2'=e^{\alpha t}(\alpha\sin\beta t+\beta\cos\beta t)\)
\(W=\tilde{y}_1\tilde{y}_2'-\tilde{y}_2\tilde{y}_1'=e^{2\alpha t}\bigl[\cos\beta t(\alpha\sin\beta t+\beta\cos\beta t)-\sin\beta t(\alpha\cos\beta t-\beta\sin\beta t)\bigr]\)
\(=e^{2\alpha t}\bigl[\beta\cos^2\beta t+\beta\sin^2\beta t\bigr]=\beta\,e^{2\alpha t}\)
Como \(\beta>0\) e \(e^{2\alpha t}>0\): \(W(t)\neq0\) para todo \(t\) → \(\tilde{y}_1\) e \(\tilde{y}_2\) são linearmente independentes. ✓
Os 3 regimes — resumo completo
Defina \(\Delta=a_1^2-4a_0\) (discriminante da equação característica).
① \(\Delta>0\) — Superamortecido: \(\lambda_{1,2}=(-a_1\pm\sqrt{\Delta})/2\in\mathbb{R}\), distintas
\(y=C_1e^{\lambda_1 t}+C_2e^{\lambda_2 t}\) — decaimento exponencial puro, sem oscilação
② \(\Delta=0\) — Criticamente amortecido: \(\lambda=-a_1/2\) (raiz dupla real)
\(y=(C_1+C_2t)\,e^{\lambda t}\) — decaimento mais rápido possível sem oscilar; solução \(te^{\lambda t}\) vem da redução de ordem
③ \(\Delta<0\) — Subamortecido (este exercício): \(\lambda=\alpha\pm i\beta\)
\(y=e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t)\) — oscilação amortecida
Nos três casos, \(C_1,C_2\in\mathbb{R}\) são determinados pelas condições iniciais \(y(0)\) e \(y'(0)\).
Defina \(\Delta=a_1^2-4a_0\) (discriminante da equação característica).
① \(\Delta>0\) — Superamortecido: \(\lambda_{1,2}=(-a_1\pm\sqrt{\Delta})/2\in\mathbb{R}\), distintas
\(y=C_1e^{\lambda_1 t}+C_2e^{\lambda_2 t}\) — decaimento exponencial puro, sem oscilação
② \(\Delta=0\) — Criticamente amortecido: \(\lambda=-a_1/2\) (raiz dupla real)
\(y=(C_1+C_2t)\,e^{\lambda t}\) — decaimento mais rápido possível sem oscilar; solução \(te^{\lambda t}\) vem da redução de ordem
③ \(\Delta<0\) — Subamortecido (este exercício): \(\lambda=\alpha\pm i\beta\)
\(y=e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t)\) — oscilação amortecida
Nos três casos, \(C_1,C_2\in\mathbb{R}\) são determinados pelas condições iniciais \(y(0)\) e \(y'(0)\).
12 Euler e amplitude complexa Aplicação
Com \(g(t)=Be^{-i\omega t}\), \(B=ae^{i\theta}\), verifique \(f_1(t)=\text{Re}(g)\) e \(f_2(t)=\text{Im}(g)\).
Desenvolvimento
\(g(t)=ae^{i\theta}\cdot e^{-i\omega t}=ae^{i(\theta-\omega t)}=a[\cos(\theta-\omega t)+i\sin(\theta-\omega t)]\)
Paridade: \(\cos(\theta-\omega t)=\cos(\omega t-\theta)\) (par), \(\sin(\theta-\omega t)=-\sin(\omega t-\theta)\) (ímpar).\(g(t)=a\cos(\omega t-\theta)-ia\sin(\omega t-\theta)\)
✅ Verificação
\(\text{Re}(g)=a\cos(\omega t-\theta)=f_1(t)\) ✓\(\text{Im}(g)=-a\sin(\omega t-\theta)=-f_2(t)\)
Com convenção \(e^{+i\omega t}\) no expoente, obtém-se \(f_2=\text{Im}(g)\) diretamente.
13 Circuito RLC — impedância complexa Aplicação
Mostre que \(V_0=I_0(R+i(\omega L-1/\omega C))\) para circuito RLC série.
Representação fasorial
\(I(t)=\text{Re}(I_0e^{i\omega t})\). Derivar = multiplicar por \(i\omega\). Integrar = dividir por \(i\omega\).Tensão em cada componente
R: \(V_{R,0}=RI_0\)L: \(V_{L,0}=i\omega L\cdot I_0\) (derivada × L)
C: \(V_{C,0}=\frac{1}{i\omega C}\cdot I_0=\frac{-i}{\omega C}\cdot I_0\) (integral × 1/C)
Kirchhoff
\(V_0=V_{R,0}+V_{L,0}+V_{C,0}=I_0\left(R+i\omega L-\frac{i}{\omega C}\right)\)
✅ Resultado
\(V_0=I_0\!\left(R+i\!\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\right)=I_0\cdot Z\quad\blacksquare\)
\(Z\) = impedância complexa. Re = resistência, Im = reatância.RessonânciaQuando \(\omega L=1/\omega C\) → \(\text{Im}(Z)=0\) → impedância puramente resistiva → corrente máxima.
Frequência: \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\). Mnemônico: "ELI the ICE man".
Frequência: \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\). Mnemônico: "ELI the ICE man".